Якія вынікі прэдыкатаў?
Логіка прэдыкатаў першага парадку, таксама вядомая як логіка першага парадку (FOL), - гэта фармальная сістэма, якая выкарыстоўваецца ў матэматыцы, філасофіі, лінгвістыцы і інфарматыцы. Ён пашырае прапазіцыйную логіку, уключыўшы квантыфікатары і прэдыкаты, што дазваляе стварыць больш выразную мову, здольную прадстаўляць больш шырокі спектр выказванняў пра свет. Гэтая лагічная сістэма з'яўляецца асноватворнай у розных галінах, у тым ліку ў тэорыі складанасці вылічэнняў і кібербяспецы, дзе яна важная для разважанняў аб алгарытмах, сістэмах і ўласцівасцях бяспекі.
У логіцы прэдыкатаў першага парадку прэдыкат - гэта функцыя, якая прымае адзін або некалькі аргументаў і вяртае праўдзівае значэнне, праўдзівае або ілжывае. Прэдыкаты выкарыстоўваюцца для выражэння уласцівасцей аб’ектаў або адносін паміж аб’ектамі. Напрыклад, у вобласці дыскурсу, якая тычыцца людзей, прэдыкат можа быць «isTall(x)», які прымае адзін аргумент x і вяртае true, калі x высокі, і false у адваротным выпадку. Іншым прыкладам можа быць "isSibling(x, y)", які прымае два аргументы x і y і вяртае ісціну, калі x і y з'яўляюцца братамі і сёстрамі, і false у адваротным выпадку.
Каб зразумець, чаму прэдыкаты ў логіцы першага парадку даюць праўдзівасці, неабходна разгледзець структуру і семантыку гэтай лагічнай сістэмы. Логіка першага парадку складаецца з наступных кампанентаў:
1. зменныя: Сімвалы, якія абазначаюць элементы ў галіне дыскурсу. Прыклады ўключаюць x, y, z.
2. канстанты: Сімвалы, якія адносяцца да пэўных элементаў у дамене. Прыклады: a, b, c.
3. Прэдыкатывы: Сімвалы, якія прадстаўляюць уласцівасці або адносіны. Яны часта пазначаюцца вялікімі літарамі, такімі як P, Q, R.
4. функцыі: Сімвалы, якія супастаўляюць элементы дамена з іншымі элементамі. Прыклады: f, g, h.
5. Квантары: Сімвалы, якія выражаюць ступень прымянення прэдыката да дамена. Двума асноўнымі квантарамі з'яўляюцца ўніверсальны квантар (∀) і экзістэнцыяльны квантар (∃).
6. Лагічныя злучнікі: Сімвалы, якія спалучаюць прэдыкатывы і выказванні. Сюды ўваходзяць кан'юнкцыя (∧), дыз'юнкцыя (∨), адмаўленне (¬), імплікацыя (→) і двухумоўнасць (↔).
Сінтаксіс логікі першага парадку вызначае, як гэтыя кампаненты могуць быць аб'яднаны для фарміравання правільна сфарміраваных формул (WFF). WFF - гэта радок сімвалаў, граматычна правільны ў адпаведнасці з правіламі лагічнай сістэмы. Напрыклад, калі P з'яўляецца прэдыкатам, а x з'яўляецца зменнай, то P(x) з'яўляецца WFF. Аналагічным чынам, калі Q з'яўляецца прэдыкатам з двума аргументамі, то Q(x, y) таксама з'яўляецца WFF.
Семантыка логікі першага парадку забяспечвае сэнс гэтых формул. Інтэрпрэтацыя мовы першага парадку прадугледжвае наступнае:
1. Дамен дыскурсу: непусты набор элементаў, у межах якога знаходзяцца зменныя.
2. Функцыя інтэрпрэтацыі: Адлюстраванне, якое прысвойвае значэнні канстантам, функцыям і прэдыкатам у мове. У прыватнасці, ён прызначае:
– Элемент дамена для кожнай канстанты.
– Функцыя ад вобласці да вобласці для кожнага сімвала функцыі.
– Адносіны над даменам да кожнага прэдыкатнага сімвала.
З улікам інтэрпрэтацыі і прысваення значэнняў зменным можна вызначыць праўдзівае значэнне WFF. Напрыклад, разгледзім прэдыкат "isTall(x)" у дамене людзей. Калі функцыя інтэрпрэтацыі прысвойвае ўласцівасць быць высокім прэдыкату "isTall", то "isTall(x)" будзе праўдзівым, калі чалавек, прадстаўлены х, высокі, і ілжывым у адваротным выпадку.
Квантары гуляюць важную ролю ў логіцы першага парадку, дазваляючы выказванні аб усіх або некаторых элементах дамена. Універсальны квантар (∀) азначае, што прэдыкат выконваецца для ўсіх элементаў вобласці, у той час як экзістэнцыяльны квантар (∃) азначае, што існуе хаця б адзін элемент у вобласці, для якой прэдыкат выконваецца.
Напрыклад:
– Выказванне «∀x isTall(x)» азначае «Кожны чалавек высокі».
– Выказванне «∃x isTall(x)» азначае «Існуе хаця б адзін чалавек высокага росту».
Гэтыя квантыфікатары ў спалучэнні з прэдыкатамі дазваляюць будаваць складаныя лагічныя выказванні, якія могуць быць ацэненыя як ісцінныя або ілжывыя на аснове інтэрпрэтацыі.
Каб праілюстраваць гэта далей, разгледзім дамен, які складаецца з трох чалавек: Алісы, Боба і Кэрал. Няхай прэдыкат "isTall(x)" інтэрпрэтуецца так, што Аліса і Боб высокія, а Кэрал - не. Функцыя інтэрпрэтацыі прысвойвае наступныя значэнні праўдзівасці:
– isTall(Alice) = праўда
– isTall(Боб) = праўда
– isTall(Carol) = ілжыва
Зараз разгледзім наступныя заявы:
1. "∀x isTall(x)" – гэта сцвярджэнне ілжывае, таму што не ўсе людзі ў дамене высокія (Кэрал не высокая).
2. "∃x isTall(x)" – Гэта сцвярджэнне дакладна, таму што ў дамене ёсць людзі высокага росту (Аліса і Боб).
Ісцінныя значэнні гэтых выказванняў вызначаюцца інтэрпрэтацыяй прэдыката і сферай дыскурсу.
У тэорыі складанасці вылічэнняў і кібербяспецы логіка першага парадку выкарыстоўваецца для разважанняў пра ўласцівасці алгарытмаў, пратаколаў і сістэм. Напрыклад, пры фармальнай праверцы логіка першага парадку можа быць выкарыстана для ўказання і праверкі правільнасці праграмнага забеспячэння і апаратных сістэм. Прэдыкат можа прадстаўляць уласцівасць бяспекі, такую як "isAuthenticated(user)", якая вяртае true, калі карыстальнік аўтэнтыфікаваны, і false у адваротным выпадку. Выкарыстоўваючы логіку першага парадку, можна фармальна даказаць, ці задавальняе сістэма пэўным уласцівасцям бяспекі пры ўсіх магчымых умовах.
Больш за тое, логіка першага парадку з'яўляецца асноватворнай пры вывучэнні вырашальнасці і вылічальнай складанасці. Праблема Entscheidungs, пастаўленая Дэвідам Гільбертам, пыталася, ці існуе алгарытм, які можа вызначыць праўдзівасць або ілжывасць любога дадзенага лагічнага выказвання першага парадку. Алан Цьюрынг і Алонза Чэрч незалежна адзін ад аднаго даказалі, што такога алгарытму не існуе, усталяваўшы невырашальнасць логікі першага парадку. Гэты вынік мае сур'ёзныя наступствы для абмежаванняў вылічэнняў і складанасці лагічных разважанняў.
У практычных праграмах інструменты аўтаматызаванага доказу тэарэм і праверкі мадэляў часта выкарыстоўваюць логіку першага парадку для праверкі ўласцівасцей сістэм. Гэтыя інструменты прымаюць лагічныя спецыфікацыі ў якасці ўваходных дадзеных і спрабуюць даказаць, ці выконваюцца ўказаныя ўласцівасці. Напрыклад, сродак праверкі мадэлі можа праверыць, ці задавальняе сеткавы пратакол пэўным уласцівасцям бяспекі, выяўляючы гэтыя ўласцівасці ў логіцы першага парадку і даследуючы ўсе магчымыя станы пратакола.
Прэдыкаты ў логіцы першага парадку даюць праўдзівыя значэнні, праўдзівыя або ілжывыя, на аснове іх інтэрпрэтацыі і вобласці дыскурсу. Гэтая характарыстыка робіць логіку першага парадку магутнай і выразнай фармальнай сістэмай для разважанняў пра ўласцівасці і адносіны ў розных галінах, уключаючы матэматыку, філасофію, лінгвістыку, інфарматыку і кібербяспеку.
Іншыя апошнія пытанні і адказы адносна Асновы тэорыі складанасці вылічэнняў EITC/IS/CCTF:
- Якая роля рэкурсійнай тэарэмы ў дэманстрацыі невырашальнасці ATM?
- Разглядаючы КПК, які можа чытаць паліндромы, не маглі б вы падрабязна апісаць эвалюцыю стэка, калі ўвод з'яўляецца, па-першае, паліндромам, а па-другое, не паліндромам?
- Разглядаючы недэтэрмінаваныя КПК, суперпазіцыя станаў магчымая па азначэнні. Аднак недэтэрмінаваныя КПК маюць толькі адзін стэк, які не можа знаходзіцца ў некалькіх станах адначасова. Як такое магчыма?
- Што з'яўляецца прыкладам КПК, якія выкарыстоўваюцца для аналізу сеткавага трафіку і ідэнтыфікацыі шаблонаў, якія паказваюць на магчымыя парушэнні бяспекі?
- Што значыць, што адна мова больш магутная за іншую?
- Ці пазнаюцца кантэкстна-залежныя мовы машынай Цьюрынга?
- Чаму мова U = 0^n1^n (n>=0) нерэгулярная?
- Як вызначыць FSM, які распазнае двайковыя радкі з цотнай колькасцю сімвалаў «1», і паказаць, што з ім адбываецца пры апрацоўцы ўваходнага радка 1011?
- Як недэтэрмінізм уплывае на пераходную функцыю?
- Ці эквівалентныя звычайныя мовы канчатковым аўтаматам?
Больш пытанняў і адказаў глядзіце ў раздзеле "Асновы тэорыі вылічальнай складанасці" EITC/IS/CCTF