Для вырашэння пытання аб тым, ці можа распазнавальная мова Цьюрынга ўтвараць падмноства вырашальнай мовы, вельмі важна разгледзець фундаментальныя паняцці тэорыі складанасці вылічэнняў, асабліва засяроджваючыся на класіфікацыях моў, заснаваных на іх вырашальнасці і пазнавальнасці.
У тэорыі складанасці вылічэнняў мовы ўяўляюць сабой наборы радкоў над некаторым алфавітам, і іх можна класіфікаваць на аснове тыпу вылічальных працэсаў, якія могуць іх распазнаваць або вырашаць. Мова называецца Цьюрынг пазнавальны (Або рэкурсіўна пералічаны), калі існуе машына Цьюрынга, якая спыніцца і прыме любы радок, які належыць мове. Аднак, калі радок не належыць мове, машына Цьюрынга можа альбо адхіліць яго, альбо працаваць бясконца без прыпынку. З іншага боку, мова ёсць вырашальны (Або рэкурсіўны), калі існуе машына Цьюрынга, якая заўсёды спыняецца і правільна вырашае, належыць які-небудзь радок мове ці не.
Азначэнні і ўласцівасці
1. Распазнальныя мовы Цьюрынга:
– Мова (L) распазнаецца Цьюрынгам, калі існуе машына Цьюрынга (M), такая што для любога радка (w):
– Калі ( w у L ), то ( M ) у рэшце рэшт спыняецца і прымае ( w ).
– Калі ( w notin L ), то ( M ) альбо адхіляе ( w ), альбо працуе вечна без прыпынку.
2. Вырашальныя мовы:
– Мова ( L ) вырашальная, калі існуе машына Цьюрынга ( M ), такая што для любога радка ( w ):
– Калі ( w у L ), то ( M ) у рэшце рэшт спыняецца і прымае ( w ).
– Калі ( w notin L ), то ( M ) у рэшце рэшт спыняецца і адхіляе ( w ).
З гэтых азначэнняў ясна, што кожная вырашальная мова таксама распазнаецца Цьюрынгам, таму што машына Цьюрынга, якая вызначае мову, заўсёды спыняецца і дае адказ, тым самым таксама распазнаючы мову. Аднак адваротнае неабавязкова дакладна, таму што мова, якую распазнае Цьюрынг, не гарантуе, што машына Цьюрынга спыніцца для радкоў, якія не ўваходзяць у мову.
Адносіны падмноства
Каб вызначыць, ці можа распазнавальная мова Цьюрынга ўтвараць падмноства вырашальнай мовы, разгледзьце наступнае:
- Вызначэнне падмноства: Мова ( A ) — гэта падмноства мовы ( B ), якое пазначаецца як ( A subseteq B ), калі кожны радок у ( A ) таксама знаходзіцца ў ( B ). Фармальна, (для ўсіх w у A, w у B).
Улічваючы, што кожная вырашальная мова таксама распазнаецца Цьюрынгам, магчыма, што распазнавальная мова Цьюрынга будзе падмноствам вырашальнай мовы. Гэта адбываецца таму, што вырашальную мову ( B ) можна разглядаць як мову, распазнаваемую Цьюрынгам, з дадатковай уласцівасцю, што яна спыняецца на ўсіх уваходных дадзеных. Такім чынам, калі (A) распазнаецца Цьюрынгам, а (B) вырашальны, і калі кожны радок у (A) таксама знаходзіцца ў (B), то (A) сапраўды можа быць падмноствам (B).
Прыклады і ілюстрацыі
Каб праілюстраваць гэтую канцэпцыю, разгледзім наступныя прыклады:
1. Прыклад 1:
– Няхай ( L_1 ) будзе мовай усіх радкоў, якія кадзіруюць сапраўдныя праграмы на C, якія спыняюцца, калі не атрымліваюць уводу. Вядома, што гэтая мова вырашальная, таму што мы можам пабудаваць машыну Цьюрынга, якая імітуе кожную праграму на Сі і вызначае, ці спыняецца яна.
– Няхай ( L_2 ) будзе мовай усіх радкоў, якія кадуюць сапраўдныя праграмы на Сі. Гэтая мова пазнаецца Цьюрынгам, таму што мы можам пабудаваць машыну Цьюрынга, якая правярае, ці з'яўляецца радок сапраўднай праграмай на Сі.
– Відавочна, ( L_2 subseteq L_1 ), таму што кожная сапраўдная праграма на C (незалежна ад таго, спыняецца яна ці не) з'яўляецца сапраўдным радком на мове прыпынку праграм на C.
2. Прыклад 2:
– Няхай ( L_3 ) будзе мова, якая складаецца з усіх радкоў у алфавіце ( {0, 1} ), якія прадстаўляюць двайковыя лікі, якія дзеляцца на 3. Гэтая мова вырашальная, бо мы можам пабудаваць машыну Цьюрынга, якая выконвае дзяленне і правярае астатак з нуля.
– Няхай ( L_4 ) будзе мова, якая складаецца з усіх двайковых радкоў, якія прадстаўляюць простыя лікі. Гэтая мова пазнаецца Цьюрынгам, таму што мы можам пабудаваць машыну Цьюрынга, якая правярае першаснасць шляхам тэставання на дзялімасць.
– У гэтым выпадку ( L_4 ) не з’яўляецца падмноствам ( L_3 ), але калі мы разгледзім мову ( L_5 ) бінарных радкоў, якія прадстаўляюць лікі, якія дзеляцца на 6 (якія дзеляцца як на 3, так і на цотныя), то ( L_5 subseq L_3 ).
Узаемадзеянне вырашальнасці і пазнавальнасці
Узаемадзеянне паміж вырашальнымі мовамі і мовамі, якія распазнаюцца Цьюрынгам, паказвае некалькі важных аспектаў:
- Уласцівасці закрыцця: Вырашальныя мовы замкнёныя адносна аб'яднання, перасячэння і дапаўнення. Гэта азначае, што калі (L_1) і (L_2) вырашальныя, то і (L_1 cup L_2), (L_1 cap L_2) і (overline{L_1}) (дапаўненне (L_1)).
- Распазнальныя мовы Цьюрынга: Яны замкнёныя адносна аб'яднання і перасячэння, але неабавязкова дапаўнення. Гэта адбываецца таму, што дадатак да мовы, распазнаваемай Цьюрынгам, можа быць не пазнавальным.
Практычныя наступствы ў галіне кібербяспекі
Разуменне ўзаемасувязі паміж распазнавальнымі і вырашальнымі мовамі Цьюрынга мае практычныя наступствы для кібербяспекі, асабліва ў кантэксце праверкі праграм і выяўлення шкоднасных праграм:
- Праграма верыфікацыі: Забеспячэнне карэктнай працы праграмы для ўсіх уводаў з'яўляецца вырашальнай праблемай для пэўных класаў праграм. Напрыклад, праверка таго, што алгарытм сартавання правільна сартуе любы ўваходны спіс, можа быць аформлена як вырашальная праблема.
- Выяўленне шкоднасных праграм: Выяўленне таго, ці з'яўляецца дадзеная праграма шкоднаснай, можна назваць праблемай, распазнанай Цьюрынгам. Напрыклад, пэўныя эўрыстыкі або шаблоны могуць быць выкарыстаны для распазнавання вядомых шкоднасных праграм, але вызначыць, ці з'яўляецца любая адвольная праграма шкоднаснай (праблема выяўлення шкоднасных праграм), у агульным выпадку немагчыма вырашыць.
Conclusion
Па сутнасці, распазнавальная мова Цьюрынга сапраўды можа ўтвараць падмноства вырашальнай мовы. Гэтая ўзаемасувязь падкрэслівае іерархічную структуру моўных класаў у тэорыі складанасці вылічэнняў, дзе вырашальныя мовы ўяўляюць сабой больш абмежаванае падмноства моў, якія распазнаюцца Цьюрынгам. Гэта разуменне важна для розных прыкладанняў у галіне інфарматыкі і кібербяспекі, дзе здольнасць распазнаваць і вызначаць мовы адыгрывае ключавую ролю ў забеспячэнні правільнасці і бяспекі вылічальных сістэм.
Іншыя апошнія пытанні і адказы адносна Рашучасць:
- Ці можа стужка быць абмежавана памерам уваходу (што эквівалентна таму, што галоўка машыны Цьюрынга абмежавана рухацца за межы уваходу TM стужкі)?
- Што гэта значыць для розных варыянтаў машын Цьюрынга быць эквівалентнымі па вылічальных магчымасцях?
- Ці вырашальная праблема прыпынку машыны Цьюрынга?
- Калі ў нас ёсць дзве TM, якія апісваюць вырашальную мову, пытанне эквівалентнасці ўсё яшчэ невырашальнае?
- Чым праблема прыняцця для лінейных абмежаваных аўтаматаў адрозніваецца ад праблемы машын Цьюрынга?
- Прывядзіце прыклад задачы, якую можна вырашыць з дапамогай лінейнага абмежаванага аўтамата.
- Растлумачце паняцце вырашальнасці ў кантэксце лінейных абмежаваных аўтаматаў.
- Як памер стужкі ў лінейных абмежаваных аўтаматах уплывае на колькасць розных канфігурацый?
- У чым галоўнае адрозненне паміж лінейнымі абмежаванымі аўтаматамі і машынамі Цьюрынга?
- Апішыце працэс пераўтварэння машыны Цьюрынга ў набор плітак для PCP і тое, як гэтыя пліткі прадстаўляюць гісторыю вылічэнняў.
Глядзіце дадатковыя пытанні і адказы ў раздзеле "Вырашальнасць".