Запыт аб тым, ці ўсе розныя варыянты машын Цьюрынга эквівалентныя па вылічальных магчымасцях, з'яўляецца фундаментальным пытаннем у галіне тэарэтычнай інфарматыкі, асабліва ў рамках вывучэння тэорыі складанасці вылічэнняў і магчымасці рашэння. Каб вырашыць гэтую праблему, вельмі важна ўлічваць прыроду машын Цьюрынга і канцэпцыю вылічальнай эквівалентнасці.
Машына Цьюрынга - гэта абстрактная матэматычная мадэль вылічэнняў, прадстаўленая Аланам Ц'юрынгам у 1936 г. Яна складаецца з бясконцай стужкі, галоўкі стужкі, якая можа чытаць і запісваць сімвалы на стужку, канчатковага набору станаў і функцыі пераходу, якая дыктуе дзеянні машыны на аснове бягучага стану і сімвала, які чытаецца. Стандартная машына Цьюрынга, якую часта называюць «класічнай» або «аднастужачнай» машынай Цьюрынга, служыць асноватворнай мадэллю для вызначэння вылічальных працэсаў.
Ёсць некалькі варыянтаў машын Цьюрынга, кожны з рознымі канфігурацыямі або ўдасканаленнямі. Некаторыя з прыкметных варыяцый ўключаюць:
1. Шматстужачныя машыны Цьюрынга: Гэтыя машыны маюць некалькі стужак і адпаведныя стужкавыя галоўкі. Кожная стужка працуе незалежна, і функцыя пераходу можа залежаць ад сімвалаў, прачытаных з усіх стужак. Нягледзячы на павышаную складанасць, шматстужачныя машыны Цьюрынга ў вылічальным плане эквівалентныя аднастужачным машынам Цьюрынга. Гэта азначае, што любое вылічэнне, выкананае шматстужачнай машынай Цьюрынга, можа быць змадэлявана аднастужачнай машынай Цьюрынга, хоць і з магчымым паліномным павелічэннем колькасці неабходных крокаў.
2. Недэтэрмінаваныя машыны Цьюрынга (NTM): Гэтыя машыны могуць рабіць некалькі пераходаў для зададзенага стану і сімвала ўводу, фактычна разгаліноўваючыся на некалькі вылічальных шляхоў. У той час як NTM могуць даследаваць шмат вылічальных шляхоў адначасова, яны таксама эквівалентныя ў вылічальным плане дэтэрмінаваным машынам Цьюрынга (DTM). Любая мова, распазнаная NTM, таксама можа быць распазнана DTM, хоць мадэляванне можа запатрабаваць экспанентны час у горшым выпадку.
3. Універсальныя машыны Цьюрынга (UTM): UTM - гэта машына Цьюрынга, якая можа імітаваць любую іншую машыну Цьюрынга. Ён прымае ў якасці ўваходных дадзеных апісанне іншай машыны Цьюрынга і ўваходны радок для гэтай машыны. Затым UTM імітуе паводзіны апісанай машыны на ўваходным радку. Існаванне UTM дэманструе, што адна машына можа выконваць любыя вылічэнні, якія можа выконваць любая іншая машына Цьюрынга, падкрэсліваючы ўніверсальнасць мадэлі машыны Цьюрынга.
4. Машыны Цьюрынга з паўбясконцымі стужкамі: Гэтыя машыны маюць бясконцыя стужкі толькі ў адным кірунку. Па вылічэннях яны эквівалентныя стандартным машынам Цьюрынга, паколькі любыя вылічэнні, выкананыя паўбясконцай стужкавай машынай Цьюрынга, могуць быць змадэляваны стандартнай машынай Цьюрынга з адпаведным кадаваннем змесціва стужкі.
5. Машыны Цьюрынга з некалькімі галоўкамі: Гэтыя машыны маюць некалькі стужкавых галовак, якія могуць чытаць і запісваць на адной стужцы. Як і шматстужачныя машыны Цьюрынга, машыны Цьюрынга з некалькімі галоўкамі ў вылічальным плане эквівалентныя аднастужачным машынам Цьюрынга, і мадэляванне патэнцыйна патрабуе дадатковых этапаў.
6. Пераменныя машыны Цьюрынга (банкаматы): Гэтыя машыны абагульняюць NTM, дазваляючы пазначаць стану як экзістэнцыяльныя або універсальныя. Банкамат прымае ўвод, калі існуе паслядоўнасць пераходаў ад пачатковага стану да прымальнага стану, які задавальняе экзістэнцыяльным і універсальным умовам. Банкаматы таксама вылічальна эквівалентныя DTM з пункту гледжання моў, якія яны распазнаюць, хоць класы складанасці, якія яны характарызуюць, такія як паліномная іерархія, адрозніваюцца.
7. Квантавыя машыны Цьюрынга (QTM): Гэтыя машыны ўключаюць у сябе прынцыпы квантавай механікі, якія дазваляюць суперпазіцыю і заблытанасць станаў. У той час як QTM могуць вырашаць пэўныя праблемы больш эфектыўна, чым класічныя машыны Цьюрынга (напрыклад, разкладанне на множнікі вялікіх цэлых лікаў з выкарыстаннем алгарытму Шора), яны не больш магутныя з пункту гледжання класа вылічальных функцый. Любая функцыя, вылічальная з дапамогай QTM, таксама вылічальная з дапамогай класічнай машыны Цьюрынга.
Эквівалентнасць розных варыяцый машыны Цьюрынга ў вылічальных магчымасцях грунтуецца на тэзісе Чэрча-Цьюрынга. Гэты тэзіс сцвярджае, што любая функцыя, якая можа быць эфектыўна вылічана з дапамогай любой разумнай вылічальнай мадэлі, таксама можа быць вылічана з дапамогай машыны Цьюрынга. Такім чынам, усе вышэйзгаданыя варыянты машын Цьюрынга эквівалентныя з пункту гледжання іх здольнасці вылічваць функцыі і распазнаваць мовы, нават калі яны могуць адрознівацца па эфектыўнасці або складанасці мадэлявання.
Каб праілюстраваць гэтую эквівалентнасць, разгледзім задачу мадэлявання шматстужачнай машыны Цьюрынга з дапамогай аднастужачнай машыны Цьюрынга. Дапусцім, у нас ёсць шматстужачная машына Цьюрынга з (k) стужкамі. Мы можам змадэляваць гэтую машыну з дапамогай аднастужачнай машыны Цьюрынга, закадзіраваўшы змесціва ўсіх (k) стужак на адну стужку. Стужку аднастужачнай машыны можна падзяліць на (k) секцый, кожная з якіх прадстаўляе адну з арыгінальных стужак. Стан машыны можа ўключаць інфармацыю аб становішчы галовак стужкі на кожнай з (k) стужак. Функцыя пераходу аднастужачнай машыны можа быць распрацавана так, каб імітаваць паводзіны шматстужачнай машыны, адпаведна абнаўляючы змесціва закадзіраванай стужкі і пазіцыі галоўкі. Хоць гэта мадэляванне можа запатрабаваць больш крокаў, чым арыгінальная шматстужачная машына, яно дэманструе, што аднастужачная машына можа выконваць тыя ж вылічэнні.
Аналагічным чынам мадэляванне недэтэрмінаванай машыны Цьюрынга з дапамогай дэтэрмінаванай машыны ўключае ў сябе сістэматычнае вывучэнне ўсіх магчымых вылічальных шляхоў NTM. Гэта можа быць дасягнута з дапамогай такіх метадаў, як пошук у шырыню або пошук у глыбіню, гарантуючы, што ўсе шляхі ў канчатковым выніку будуць правераны. Нягледзячы на тое, што мадэляванне можа быць экспанентна павольней, яно пацвярджае, што DTM можа распазнаваць тыя ж мовы, што і NTM.
Прыкладам універсальнасці машын Цьюрынга з'яўляецца існаванне ўніверсальных машын Цьюрынга. UTM можа імітаваць любую іншую машыну Цьюрынга, інтэрпрэтуючы апісанне мэтавай машыны і яе ўвод. Гэтая магчымасць падкрэслівае фундаментальны прынцып таго, што адна вылічальная мадэль можа інкапсуляваць паводзіны ўсіх іншых мадэляў, умацоўваючы паняцце вылічальнай эквівалентнасці.
У той час як розныя варыянты машын Цьюрынга могуць прапанаваць відавочныя перавагі з пункту гледжання эфектыўнасці, прастаты праграмавання або канцэптуальнай яснасці, усе яны эквівалентныя па вылічальных магчымасцях. Гэтая эквівалентнасць з'яўляецца краевугольным каменем тэарэтычнай інфарматыкі, забяспечваючы адзіную аснову для разумення межаў вылічэнняў і прыроды магчымасці рашэння.
Іншыя апошнія пытанні і адказы адносна Вылічаныя функцыі:
- Растлумачце сувязь паміж вылічальнай функцыяй і існаваннем машыны Цьюрынга, якая можа яе вылічыць.
- Якое значэнне заўсёды спыняецца машына Цьюрынга пры вылічэнні вылічальнай функцыі?
- Ці можна мадыфікаваць машыну Цьюрынга, каб заўсёды прымаць функцыю? Растлумачце, чаму ці не.
- Як машына Цьюрынга вылічвае функцыю і якая роля ўваходных і выходных стужак?
- Што такое вылічальная функцыя ў кантэксце тэорыі складанасці вылічэнняў і як яна вызначаецца?